Problemas Resueltos Transformadas De Laplace Universidad Nacional De Ingenieria

Problemas Resueltos de Transformadas de Laplace: Un Enfoque Práctico para Estudiantes de la Universidad Nacional de Ingeniería

La transformada de Laplace es una herramienta matemática poderosa con aplicaciones extensas en ingeniería, física, y otras disciplinas científicas. Su capacidad para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas simplifica el análisis de sistemas dinámicos y facilita la resolución de problemas complejos. En este artículo, exploraremos una serie de problemas resueltos que ilustran el uso efectivo de las transformadas de Laplace, especialmente relevantes para estudiantes de la Universidad Nacional de Ingeniería (UNI).

Introducción a la Transformada de Laplace

La transformada de Laplace, nombrada en honor al matemático y astrónomo Pierre-Simon Laplace, es una integral que transforma una función del dominio del tiempo (t) al dominio de la frecuencia compleja (s). Formalmente, la transformada de Laplace de una función f(t), definida para t ≥ 0, se denota como F(s) y se define como:

F(s) = ∫₀^∞ f(t)e^(-st) dt

Donde s es una variable compleja (s = σ + jω), y la integral converge para valores suficientemente grandes de σ.

La transformada inversa de Laplace, denotada como f(t) = L⁻¹{F(s)}, permite retornar la función al dominio del tiempo. Aunque la integral de inversión es compleja, en la práctica se utilizan tablas de transformadas y propiedades para encontrar las funciones originales.

Propiedades Fundamentales de la Transformada de Laplace

Para resolver problemas utilizando transformadas de Laplace, es esencial conocer y aplicar sus propiedades fundamentales:

• Linealidad: L{af(t) + bg(t)} = aL{f(t)} + bL{g(t)} = aF(s) + bG(s)
• Derivada: L{f'(t)} = sF(s) - f(0)
• Segunda Derivada: L{f''(t)} = s²F(s) - sf(0) - f'(0)
• Traslación en el Tiempo: L{f(t-a)u(t-a)} = e^(-as)F(s), donde u(t-a) es la función escalón unitario.
• Traslación en la Frecuencia: L{e^(at)f(t)} = F(s-a)
• Escalamiento: L{f(at)} = (1/a)F(s/a)
• Teorema del Valor Inicial: lim(t→0) f(t) = lim(s→∞) sF(s)
• Teorema del Valor Final: lim(t→∞) f(t) = lim(s→0) sF(s), siempre que el límite exista.

Problemas Resueltos

A continuación, presentamos una serie de problemas resueltos que ilustran el uso de la transformada de Laplace en diversos contextos.

Problema 1: Transformada de Laplace de una Función Exponencial

Encuentre la transformada de Laplace de la función f(t) = e^(at).

Solución:

Aplicamos la definición de la transformada de Laplace:

F(s) = ∫₀^∞ e^(at)e^(-st) dt = ∫₀^∞ e^((a-s)t) dt

Evaluando la integral:

F(s) = [e^((a-s)t) / (a-s)]₀^∞

Para que la integral converja, Re(s) > a. Por lo tanto:

F(s) = lim(t→∞) [e^((a-s)t) / (a-s)] - [e^((a-s)(0)) / (a-s)] = 0 - [1 / (a-s)] = 1 / (s-a)

Por lo tanto, L{e^(at)} = 1 / (s-a), para Re(s) > a.

Problema 2: Transformada de Laplace de la Función Seno

Encuentre la transformada de Laplace de la función f(t) = sin(ωt).

Solución:

Utilizamos la definición de la transformada de Laplace:

F(s) = ∫₀^∞ sin(ωt)e^(-st) dt

Podemos expresar sin(ωt) en términos de exponenciales complejas usando la fórmula de Euler:

sin(ωt) = (e^(jωt) - e^(-jωt)) / (2j)

Sustituimos en la integral:

F(s) = (1 / 2j) ∫₀^∞ (e^(jωt) - e^(-jωt))e^(-st) dt

F(s) = (1 / 2j) [∫₀^∞ e^((jω-s)t) dt - ∫₀^∞ e^((-jω-s)t) dt]

Evaluamos las integrales:

F(s) = (1 / 2j) [1 / (s - jω) - 1 / (s + jω)]

F(s) = (1 / 2j) [(s + jω - (s - jω)) / ((s - jω)(s + jω))] = (1 / 2j) [(2jω) / (s² + ω²)]

F(s) = ω / (s² + ω²)

Por lo tanto, L{sin(ωt)} = ω / (s² + ω²).

Problema 3: Resolución de una Ecuación Diferencial Lineal de Segundo Orden

Resuelva la siguiente ecuación diferencial usando la transformada de Laplace:

y''(t) + 5y'(t) + 6y(t) = e^(-t)

Con condiciones iniciales: y(0) = 0, y'(0) = 1.

Solución:

Aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación:

L{y''(t) + 5y'(t) + 6y(t)} = L{e^(-t)}

Usando la linealidad de la transformada de Laplace:

L{y''(t)} + 5L{y'(t)} + 6L{y(t)} = L{e^(-t)}

Aplicamos las propiedades de la transformada de Laplace para derivadas:

(s²Y(s) - sy(0) - y'(0)) + 5(sY(s) - y(0)) + 6Y(s) = 1 / (s + 1)

Sustituimos las condiciones iniciales y(0) = 0, y'(0) = 1:

(s²Y(s) - 0 - 1) + 5(sY(s) - 0) + 6Y(s) = 1 / (s + 1)

(s²Y(s) + 5sY(s) + 6Y(s)) - 1 = 1 / (s + 1)

Y(s)(s² + 5s + 6) = 1 + 1 / (s + 1)

Y(s)(s² + 5s + 6) = (s + 2) / (s + 1)

Y(s) = (s + 2) / [(s + 1)(s² + 5s + 6)] = (s + 2) / [(s + 1)(s + 2)(s + 3)] = 1 / [(s + 1)(s + 3)]

Ahora realizamos la descomposición en fracciones parciales:

1 / [(s + 1)(s + 3)] = A / (s + 1) + B / (s + 3)

1 = A(s + 3) + B(s + 1)

Para encontrar A y B, sustituimos valores convenientes de s:

• Si s = -1: 1 = A(-1 + 3) + B(0) => 1 = 2A => A = 1/2
• Si s = -3: 1 = A(0) + B(-3 + 1) => 1 = -2B => B = -1/2

Por lo tanto:

Y(s) = (1/2) / (s + 1) - (1/2) / (s + 3)

Aplicamos la transformada inversa de Laplace:

y(t) = L⁻¹{Y(s)} = L⁻¹{(1/2) / (s + 1) - (1/2) / (s + 3)}

y(t) = (1/2)L⁻¹{1 / (s + 1)} - (1/2)L⁻¹{1 / (s + 3)}

y(t) = (1/2)e^(-t) - (1/2)e^(-3t)

Esta es la solución de la ecuación diferencial.

Problema 4: Circuito RLC en Serie

Considere un circuito RLC en serie con una resistencia R, una inductancia L, y una capacitancia C. La ecuación diferencial que describe la corriente i(t) en el circuito cuando se aplica una fuente de voltaje v(t) es:

L(di(t)/dt) + Ri(t) + (1/C)∫i(τ)dτ = v(t)

Si L = 1 H, R = 5 Ω, C = 1/6 F, y v(t) = 10sin(t), encuentre la corriente i(t) si i(0) = 0 y la carga inicial en el capacitor es cero.

Solución:

Tomamos la transformada de Laplace de ambos lados de la ecuación:

L[L(di(t)/dt) + Ri(t) + (1/C)∫i(τ)dτ] = L[v(t)]

Usamos las propiedades de la transformada de Laplace:

L[di(t)/dt] = sI(s) - i(0)

L[∫i(τ)dτ] = I(s)/s

L[sin(t)] = 1/(s² + 1)

Sustituimos los valores dados y las propiedades:

1(sI(s) - 0) + 5I(s) + 6(I(s)/s) = 10/(s² + 1)

sI(s) + 5I(s) + 6I(s)/s = 10/(s² + 1)

I(s)(s + 5 + 6/s) = 10/(s² + 1)

I(s)(s² + 5s + 6)/s = 10/(s² + 1)

I(s) = (10s) / [(s² + 1)(s² + 5s + 6)] = (10s) / [(s² + 1)(s + 2)(s + 3)]

Realizamos la descomposición en fracciones parciales:

I(s) = (As + B) / (s² + 1) + C / (s + 2) + D / (s + 3)

10s = (As + B)(s + 2)(s + 3) + C(s² + 1)(s + 3) + D(s² + 1)(s + 2)

Expandimos y agrupamos términos:

10s = (As + B)(s² + 5s + 6) + C(s³ + 3s² + s + 3) + D(s³ + 2s² + s + 2)

10s = As³ + 5As² + 6As + Bs² + 5Bs + 6B + Cs³ + 3Cs² + Cs + 3C + Ds³ + 2Ds² + Ds + 2D

Agrupamos los coeficientes:

0s³ + 0s² + 10s + 0 = (A + C + D)s³ + (5A + B + 3C + 2D)s² + (6A + 5B + C + D)s + (6B + 3C + 2D)

Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

• A + C + D = 0
• 5A + B + 3C + 2D = 0
• 6A + 5B + C + D = 10
• 6B + 3C + 2D = 0

Resolviendo este sistema de ecuaciones (que puede ser un proceso laborioso pero directo), encontramos:

A = 3, B = 1, C = -4, D = 1

Por lo tanto:

I(s) = (3s + 1) / (s² + 1) - 4 / (s + 2) + 1 / (s + 3)

Ahora aplicamos la transformada inversa de Laplace:

i(t) = L⁻¹[I(s)] = L⁻¹[(3s + 1) / (s² + 1) - 4 / (s + 2) + 1 / (s + 3)]

i(t) = 3L⁻¹[s / (s² + 1)] + L⁻¹[1 / (s² + 1)] - 4L⁻¹[1 / (s + 2)] + L⁻¹[1 / (s + 3)]

i(t) = 3cos(t) + sin(t) - 4e^(-2t) + e^(-3t)

Esta es la corriente i(t) en el circuito.

Problema 5: Función Escalonada y Traslación en el Tiempo

Encuentre la transformada de Laplace de la función:

f(t) = u(t - 2) * (t - 2)

Donde u(t - 2) es la función escalón unitario que es 0 para t < 2 y 1 para t ≥ 2.

Solución:

Usamos la propiedad de traslación en el tiempo:

L{f(t - a)u(t - a)} = e^(-as)F(s)

En este caso, a = 2 y f(t - 2) = t - 2. Definimos g(t) = t, entonces g(t) desplazada es g(t-2) = t-2. Primero encontramos la transformada de Laplace de g(t) = t:

L{t} = ∫₀^∞ te^(-st) dt

Integrando por partes (u = t, dv = e^(-st)dt):

L{t} = [-t/s * e^(-st)]₀^∞ + (1/s)∫₀^∞ e^(-st) dt

L{t} = 0 + (1/s) [-1/s * e^(-st)]₀^∞

L{t} = (1/s) [0 - (-1/s)] = 1/s²

Entonces G(s) = 1/s². Aplicando la propiedad de traslación en el tiempo:

L{u(t - 2)(t - 2)} = e^(-2s) * (1/s²)

Por lo tanto, L{u(t - 2)(t - 2)} = e^(-2s) / s².

Problema 6: Convolución

Encuentre la transformada inversa de Laplace de:

H(s) = 1 / [(s + a)(s + b)]

Usando la propiedad de convolución.

Solución:

Podemos escribir H(s) como el producto de dos transformadas:

H(s) = F(s)G(s)

Donde:

F(s) = 1 / (s + a) y G(s) = 1 / (s + b)

Las transformadas inversas correspondientes son:

f(t) = e^(-at) y g(t) = e^(-bt)

La propiedad de convolución establece que:

L⁻¹{F(s)G(s)} = ∫₀^t f(τ)g(t - τ) dτ

En nuestro caso:

L⁻¹{H(s)} = ∫₀^t e^(-aτ)e^(-b(t - τ)) dτ = e^(-bt) ∫₀^t e^((b - a)τ) dτ

Evaluamos la integral:

L⁻¹{H(s)} = e^(-bt) [e^((b - a)τ) / (b - a)]₀^t = e^(-bt) [e^((b - a)t) / (b - a) - 1 / (b - a)]

L⁻¹{H(s)} = e^(-bt) [e^(bt)e^(-at) - 1] / (b - a) = [e^(-at) - e^(-bt)] / (b - a)

Por lo tanto, L⁻¹{1 / [(s + a)(s + b)]} = [e^(-at) - e^(-bt)] / (b - a).

Problema 7: Teorema del Valor Inicial

Dada la transformada de Laplace F(s) = (2s + 1) / (s² + 3s + 2), encuentre el valor inicial f(0) de la función f(t).

Solución:

Aplicamos el teorema del valor inicial:

lim(t→0) f(t) = lim(s→∞) sF(s)

Sustituimos F(s):

lim(s→∞) s * (2s + 1) / (s² + 3s + 2) = lim(s→∞) (2s² + s) / (s² + 3s + 2)

Dividimos el numerador y el denominador por s²:

lim(s→∞) (2 + 1/s) / (1 + 3/s + 2/s²) = (2 + 0) / (1 + 0 + 0) = 2

Por lo tanto, f(0) = 2.

Problema 8: Teorema del Valor Final

Dada la transformada de Laplace F(s) = 1 / [s(s + 1)], encuentre el valor final f(∞) de la función f(t).

Solución:

Aplicamos el teorema del valor final:

lim(t→∞) f(t) = lim(s→0) sF(s)

Sustituimos F(s):

lim(s→0) s * [1 / (s(s + 1))] = lim(s→0) 1 / (s + 1) = 1 / (0 + 1) = 1

Por lo tanto, f(∞) = 1.

Problema 9: Función Delta de Dirac

Encuentre la transformada de Laplace de la función delta de Dirac δ(t - a), donde a > 0.

Solución:

La función delta de Dirac se define como:

δ(t - a) = 0, para t ≠ a

∫₋∞^∞ δ(t - a) dt = 1

Aplicamos la definición de la transformada de Laplace:

L{δ(t - a)} = ∫₀^∞ δ(t - a)e^(-st) dt

Usando la propiedad de la función delta de Dirac:

∫₀^∞ δ(t - a)e^(-st) dt = e^(-sa)

Por lo tanto, L{δ(t - a)} = e^(-sa).

Problema 10: Ecuación Integro-Diferencial

Resuelva la siguiente ecuación integro-diferencial usando la transformada de Laplace:

y'(t) + 2y(t) + ∫₀^t y(τ)dτ = 1, con y(0) = 0.

Solución:

Aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación:

L{y'(t) + 2y(t) + ∫₀^t y(τ)dτ} = L{1}

Usamos la linealidad de la transformada de Laplace:

L{y'(t)} + 2L{y(t)} + L{∫₀^t y(τ)dτ} = L{1}

Aplicamos las propiedades de la transformada de Laplace:

(sY(s) - y(0)) + 2Y(s) + Y(s)/s = 1/s

Sustituimos la condición inicial y(0) = 0:

sY(s) + 2Y(s) + Y(s)/s = 1/s

Y(s)(s + 2 + 1/s) = 1/s

Y(s)(s² + 2s + 1) / s = 1/s

Y(s) = 1 / (s² + 2s + 1) = 1 / (s + 1)²

Ahora aplicamos la transformada inversa de Laplace:

y(t) = L⁻¹{1 / (s + 1)²}

Recordamos que L{te^(at)} = 1 / (s - a)². En nuestro caso, a = -1:

y(t) = te^(-t)

Esta es la solución de la ecuación integro-diferencial.

Conclusión

Estos problemas resueltos demuestran la versatilidad y el poder de la transformada de Laplace como herramienta para resolver ecuaciones diferenciales y analizar sistemas dinámicos. Dominar estas técnicas es fundamental para estudiantes de la Universidad Nacional de Ingeniería y profesionales en campos relacionados. La práctica continua y la comprensión profunda de las propiedades de la transformada de Laplace permitirán abordar problemas más complejos con confianza y eficiencia.