Problemas Resueltos Transformadas De Laplace Uni

Berikut ini adalah artikel lengkap tentang masalah yang diselesaikan dengan transformasi Laplace di universitas:

Transformasi Laplace: Memecahkan Masalah Kompleks dengan Elegan

Transformasi Laplace adalah alat matematika yang ampuh dan banyak digunakan di berbagai bidang teknik dan fisika. Ini memungkinkan kita untuk mengubah persamaan diferensial, yang seringkali sulit dipecahkan di domain waktu, menjadi persamaan aljabar yang lebih mudah dikelola di domain frekuensi kompleks. Artikel ini akan membahas secara mendalam tentang transformasi Laplace, termasuk definisi, sifat-sifat, dan yang terpenting, bagaimana menerapkannya untuk memecahkan masalah teknik yang kompleks, terutama yang sering dihadapi dalam konteks universitas.

Apa itu Transformasi Laplace?

Secara matematis, transformasi Laplace dari sebuah fungsi f(t), yang didefinisikan untuk t ≥ 0, dilambangkan dengan F(s) atau L{f(t)}, dan diberikan oleh integral:

F(s) = ∫₀^∞ e^(-st) f(t) dt

di mana:

• s adalah variabel kompleks (s = σ + jω), dengan σ sebagai bagian riil dan ω sebagai bagian imajiner.
• e adalah basis logaritma natural (sekitar 2.71828).
• t adalah variabel waktu.
• Integral dievaluasi dari 0 hingga tak hingga.

Transformasi Laplace mengubah fungsi waktu f(t) menjadi fungsi frekuensi kompleks F(s). Ini memberikan cara alternatif untuk menganalisis sistem dan sinyal, terutama yang dijelaskan oleh persamaan diferensial.

Mengapa Menggunakan Transformasi Laplace?

Ada beberapa alasan mengapa transformasi Laplace menjadi alat yang sangat berguna dalam teknik dan sains:

• Menyederhanakan Persamaan Diferensial: Transformasi Laplace mengubah persamaan diferensial menjadi persamaan aljabar, yang umumnya lebih mudah dipecahkan.
• Menangani Kondisi Awal: Transformasi Laplace secara otomatis memasukkan kondisi awal ke dalam solusi, menghindari kebutuhan untuk menentukan konstanta integrasi secara terpisah.
• Menganalisis Sistem LTI: Transformasi Laplace sangat cocok untuk menganalisis sistem linier invarian waktu (LTI).
• Desain Kontrol: Transformasi Laplace digunakan secara luas dalam desain sistem kontrol untuk menganalisis stabilitas dan kinerja sistem.
• Analisis Rangkaian: Transformasi Laplace menyederhanakan analisis rangkaian listrik, terutama yang mengandung komponen seperti induktor dan kapasitor.

Sifat-Sifat Penting Transformasi Laplace

Untuk menggunakan transformasi Laplace secara efektif, penting untuk memahami sifat-sifatnya yang berbeda. Berikut adalah beberapa sifat yang paling umum dan berguna:

1. Linearitas: L{af(t) + bg(t)} = aL{f(t)} + bL{g(t)}, di mana a dan b adalah konstanta.

2. Transformasi Turunan: L{f'(t)} = sF(s) - f(0) dan L{f''(t)} = s²F(s) - sf(0) - f'(0). Secara umum, L{f^(n)(t)} = sⁿF(s) - s^(n-1)f(0) - ... - f^(n-1)(0).

3. Transformasi Integral: L{∫₀^t f(τ) dτ} = F(s)/s.

4. Teorema Translasi Waktu (Pergeseran Waktu): L{f(t - a)u(t - a)} = e^(-as)F(s), di mana u(t - a) adalah fungsi langkah satuan (Heaviside step function) yang bergeser sebesar a.

5. Teorema Translasi Frekuensi (Pergeseran Frekuensi): L{e^(at)f(t)} = F(s - a).

6. Teorema Perbesaran Skala: L{f(at)} = (1/a)F(s/a).

7. Teorema Nilai Awal: lim_(t→0) f(t) = lim_(s→∞) sF(s).

8. Teorema Nilai Akhir: lim_(t→∞) f(t) = lim_(s→0) sF(s), asalkan batas ada.

Transformasi Laplace dari Fungsi Umum

Berikut adalah tabel yang menunjukkan transformasi Laplace dari beberapa fungsi umum:

Fungsi f(t)	Transformasi Laplace F(s)	Region of Convergence (ROC)
1 (fungsi langkah unit)	1/s	Re(s) > 0
t	1/s²	Re(s) > 0
tⁿ	n!/s^(n+1)	Re(s) > 0
e^(at)	1/(s - a)	Re(s) > Re(a)
sin(ωt)	ω/(s² + ω²)	Re(s) > 0
cos(ωt)	s/(s² + ω²)	Re(s) > 0
sinh(at)	a/(s² - a²)	Re(s) >
cosh(at)	s/(s² - a²)	Re(s) >
δ(t) (fungsi delta)	1	Semua s

Contoh Soal dan Penyelesaian Transformasi Laplace

Sekarang, mari kita lihat beberapa contoh soal yang diselesaikan menggunakan transformasi Laplace. Contoh-contoh ini mencerminkan jenis masalah yang mungkin dihadapi siswa di universitas.

Contoh 1: Memecahkan Persamaan Diferensial Orde Pertama

Selesaikan persamaan diferensial berikut:

y'(t) + 2y(t) = e^(-t)

dengan kondisi awal y(0) = 1.

Penyelesaian:

1. Transformasikan kedua sisi persamaan menggunakan transformasi Laplace:

   • L{y'(t) + 2y(t)} = L{e^(-t)}
   • L{y'(t)} + 2L{y(t)} = L{e^(-t)}
   • Menggunakan sifat transformasi turunan: sY(s) - y(0) + 2Y(s) = 1/(s + 1)
   • Substitusikan y(0) = 1: sY(s) - 1 + 2Y(s) = 1/(s + 1)

2. Selesaikan untuk Y(s):

   • (s + 2)Y(s) = 1 + 1/(s + 1)
   • (s + 2)Y(s) = (s + 2)/(s + 1)
   • Y(s) = 1/(s + 1)

3. Lakukan transformasi Laplace invers untuk mendapatkan y(t):

   • y(t) = L^(-1){1/(s + 1)}
   • y(t) = e^(-t)

Jadi, solusi dari persamaan diferensial adalah y(t) = e^(-t).

Contoh 2: Memecahkan Persamaan Diferensial Orde Kedua

Selesaikan persamaan diferensial berikut:

y''(t) + 5y'(t) + 6y(t) = 0

dengan kondisi awal y(0) = 2 dan y'(0) = -1.

Penyelesaian:

1. Transformasikan kedua sisi persamaan menggunakan transformasi Laplace:

   • L{y''(t) + 5y'(t) + 6y(t)} = L{0}
   • L{y''(t)} + 5L{y'(t)} + 6L{y(t)} = 0
   • Menggunakan sifat transformasi turunan: s²Y(s) - sy(0) - y'(0) + 5(sY(s) - y(0)) + 6Y(s) = 0
   • Substitusikan y(0) = 2 dan y'(0) = -1: s²Y(s) - 2s + 1 + 5(sY(s) - 2) + 6Y(s) = 0

2. Selesaikan untuk Y(s):

   • (s² + 5s + 6)Y(s) - 2s + 1 - 10 = 0
   • (s² + 5s + 6)Y(s) = 2s + 9
   • Y(s) = (2s + 9)/(s² + 5s + 6)
   • Faktorkan penyebut: Y(s) = (2s + 9)/((s + 2)(s + 3))

3. Gunakan pecahan parsial untuk membagi Y(s):

   • Y(s) = A/(s + 2) + B/(s + 3)
   • 2s + 9 = A(s + 3) + B(s + 2)
   • Dengan menyelesaikan sistem persamaan ini, kita dapatkan A = 5 dan B = -3.

4. Tulis ulang Y(s) dengan pecahan parsial:

   • Y(s) = 5/(s + 2) - 3/(s + 3)

5. Lakukan transformasi Laplace invers untuk mendapatkan y(t):

   • y(t) = L^(-1){5/(s + 2) - 3/(s + 3)}
   • y(t) = 5e^(-2t) - 3e^(-3t)

Jadi, solusi dari persamaan diferensial adalah y(t) = 5e^(-2t) - 3e^(-3t).

Contoh 3: Menganalisis Rangkaian RLC dengan Transformasi Laplace

Pertimbangkan rangkaian RLC seri dengan R = 1 Ω, L = 1 H, dan C = 0.2 F. Tentukan respons arus i(t) jika tegangan sumber adalah fungsi langkah unit v(t) = u(t), dan rangkaian awalnya dalam keadaan tenang (yaitu, i(0) = 0 dan v_c(0) = 0).

Penyelesaian:

1. Tulis persamaan rangkaian di domain waktu:

   • L(di(t)/dt) + Ri(t) + (1/C)∫₀^t i(τ) dτ = v(t)

2. Transformasikan kedua sisi persamaan menggunakan transformasi Laplace:

   • L[sI(s) - i(0)] + RI(s) + (1/C)(I(s)/s) = V(s)
   • Karena i(0) = 0 dan V(s) = 1/s (transformasi Laplace dari fungsi langkah unit), kita punya:
   • LsI(s) + RI(s) + (1/Cs)I(s) = 1/s

3. Substitusikan nilai R, L, dan C:

   • sI(s) + I(s) + (5/s)I(s) = 1/s

4. Selesaikan untuk I(s):

   • (s² + s + 5)I(s) = 1
   • I(s) = 1/(s² + s + 5)

5. Selesaikan penyebut dengan melengkapi kuadrat:

   • I(s) = 1/((s + 0.5)² + 4.75)
   • I(s) = 1/√4.75 * (√4.75 / ((s + 0.5)² + 4.75))

6. Lakukan transformasi Laplace invers untuk mendapatkan i(t):

   • i(t) = L^(-1){1/√4.75 * (√4.75 / ((s + 0.5)² + 4.75))}
   • i(t) = (1/√4.75) * e^(-0.5t) * sin(√4.75 * t)
   • i(t) ≈ 0.46 * e^(-0.5t) * sin(2.18t)

Jadi, respons arus dalam rangkaian adalah i(t) ≈ 0.46 * e^(-0.5t) * sin(2.18t).

Tips dan Trik untuk Menggunakan Transformasi Laplace

• Hafalkan Tabel Transformasi Laplace: Familiar dengan transformasi Laplace dari fungsi umum dapat mempercepat proses pemecahan masalah.
• Kuasai Sifat-Sifat Transformasi Laplace: Memahami dan menerapkan sifat-sifat transformasi Laplace sangat penting untuk menyederhanakan persamaan dan mendapatkan solusi yang benar.
• Pecahan Parsial: Gunakan pecahan parsial untuk membagi fungsi rasional kompleks menjadi bentuk yang lebih sederhana sebelum melakukan transformasi Laplace invers.
• Periksa Kondisi Awal: Pastikan untuk memasukkan kondisi awal dengan benar saat mentransformasikan persamaan diferensial.
• Praktik, Praktik, Praktik: Semakin banyak Anda berlatih memecahkan masalah dengan transformasi Laplace, semakin nyaman dan mahir Anda akan menjadi.

Kesimpulan

Transformasi Laplace adalah alat yang sangat berharga untuk memecahkan persamaan diferensial dan menganalisis sistem linier invarian waktu. Dengan memahami definisi, sifat-sifat, dan teknik penerapannya, siswa dan profesional teknik dapat memanfaatkan kekuatan transformasi Laplace untuk menyelesaikan masalah kompleks dengan lebih efisien dan efektif. Artikel ini memberikan dasar yang kuat untuk memahami transformasi Laplace dan penerapannya, terutama dalam konteks universitas. Dengan latihan yang cukup, Anda dapat menguasai alat ini dan menggunakannya untuk memecahkan berbagai masalah teknik.